Tugas Kelima Matematika KJ-01

Pengertian Turunan dan Turunan Fungsi

Pengertian Turunan

Turunan atau Deriviatif ialah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input.

Secara umum, turunan menyatakan bagaimanakah suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya, Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut diferensiasi. Dan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan Anti Turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral ialah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

  •  Ialah simbol untuk turunan pertama.
  •  Ialah simbol untuk turunan kedua.
  •  Ialah simbol untuk turunan ketiga.
{\displaystyle y'\,}
{\displaystyle y''\,}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,}
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{(dx)^{2}}}\,}

Simbol yang lainnya selain  dan  ialah  dan.

Pengertian Turunan Fungsi

Turunan Fungsi (diferensial) ialah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalkan fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan.Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh seorang Ilmuan Ahli matematika dan Fisika berkebangsaan inggris yaitu Sir Isaac Newto (1642 – 1727) dan Ahli matematika bangsa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah-masalah didalam bidang geometri dan mekanika.Konsep turunan fungsi secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan didalam berbagai bidang keilmuan.Sebut saja dalam bidang ekonomi: digunakan untuk menghitung berupa, biaya total atau total penerimaan.Dalam bidang biologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organismeDalam bidang fisika: digunakan untuk menghitung kepadatan kawat,Dalam bidangkimia: digunakan untuk menghitung laju pemisahanDan dalam bidang geografi dan sosiologi: digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Rumus Dasar Turunan dari Turunan Fungsi

Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:

  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
  3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
  5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))
  •  Ialah simbol untuk turunan pertama.
  •  Ialah simbol untuk turunan kedua.
  •  Ialah simbol untuk turunan ketiga.

Tugas Keempat Matematika KJ-01

Pengertian Limit Matematika

Limit Matematika adalah suatu konsep dalam ilmu matematik yang biasa digunakan untuk menjelaskan suatu sifat dari suatu fungsi, saat agumen telah mendekati pada suatu titik tak terhingga atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.

Limit biasa dipakai pada kalkulus dan cabang lainnya dari analisis matematika untuk mencari turunan dan lanjutan.

Pada pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah untuk dikerjakan.

Limit sebuah fungsi

Apabila  f(x) merupakan fungsi real dan c adalah bilangan real, maka bentuk rumusnya yaitu:

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}

maka sama dengan f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c.

{\displaystyle \neq }

Pada contoh diatas, limit dari f(x) apabila x mendekati c, yaitu L. Perlu kita ingat, bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c)  L. Bahkan, fungsi pada f(x) tidak perlu terdefinisikan lagi pada titik c. Berikut adalah kedua contoh dibawah ini yang menggambarkan sifat.

Definisi formal tentang Limit

{\displaystyle f}
{\displaystyle c}
{\displaystyle c}
{\displaystyle L}

Definisi formal Limit didefinisikan  apabila  ialah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung sebuah titik  (dengan kemungkinan pengecualian pada titik ) dan  merupakan bilangan real,

{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}

maka: 

{\displaystyle \varepsilon \ >0}
{\displaystyle \delta \ >0}
{\displaystyle x}

Artinya bahwa untuk setiap  didapati  yang untuk semua  di mana , maka berlaku .

Limit Sebuah Fungsi pada Titik Tak Terhingga

Konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif ataupun negatif ialah konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka.  Ini bukanlah berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun artinya yaitu x menjadi sangat besar untuk tak terhingga atau sangat kecil untuk tak terhingga yang negatif.

Limit barisan

Perhatikanlah barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 …

Kita dapat amati bahwa angka-angka tersebut mendekati angka 1.8 yaitu limit dari barisan tersebut.

Secara formal, misalnya x1, x2, … ialah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil (L) sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai:

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}

yang itu berarti: Untuk setiap bilangan riil ε > 0 terdapat sebuah bilangan asli n sehingga untuk semuanya: n > n, |xn − L| < ε.

Secara Intuitif berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang telah kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xn − L| ialah jarak antara x dan L.

Tidak semua barisan memiliki limit. Jiks ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, jika tidak, disebut divergen. Barisan konvergen dapat ditunjukkan bahwa hanya memiliki satu limit.

Limit barisan dan limit fungsi saling berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah merupkan limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Namun di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).

Tugas Ketiga Matematika KJ-01

BARISAN DAN DERET
Definisi Barisan :Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan. 
Contoh :1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst
Definisi deret :Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.
Contoh :1 + 2 + 3 + 4 +… + Un2 + 4 + 6 + 8 +… + Un
A.    Baris dan Deret Aritmatika
Definisi baris aritmatika :Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.
Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)bDengano   a = U1= Suku pertama       o   b = bedao   n = banyaknya sukuo   Un = Suku ke-n

Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U5 = 11).
Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika.            Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11   o   Ut = Suku tengaho   Sn = Jumlah n suku pertama  
Berikut adalah cara untk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut di atas :·         Bedab = Un – Un-1·         Suku ke-nUn = a + (n-1)bUn = Sn – Sn-1·         Jumlah n suku pertamaSn =½ n (U1 + Un)Sn = ½ n ( 2a + (n-1)b )·         Nilai tengahUt = ½ (U1 + Un)

B.     BARIS DAN DERET GEOMETRI
Definisi barisan geometri :            Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.
Contoh :2,6,18,48….. adalah barisan geometri dengan rasio 3. Artinya adalah nilai pada Un = 3Un-1.

Definisi deret geometri :Jika U1,U2,U3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U1 + U2 + U3 +… +Un disebut deret geometri.
Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah :            Sn = a( 1- rn ) / 1 – r , jika r < 1 dan                        Sn = a( rn – 1) / r – 1 , jika r > 1

Tugas Matematika kedua KJ-01

Relasi

Misalkan M= { Adi, Bela, Cintia, Devi, Eli}, dan N={Musik, Tari, Teater}

Hubungan antara  anggota himpunan M dan anggota himpunan N dinamakan Relasi.

untitled

Definisi :

Relasi dari himpunan M ke himpunan N adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan M ke anggota-anggota himpunan N.

  ∴   Cara Menyatakan Relasi

  • Menggunakan diagram panah

Relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Karena penggambarannya menggunakan bentuk panah (arrow) maka disebut dengan diagram panah. Contoh:

untitled1
  • Himpunan pasangan berurutan

Jadi relasi antara himpunan A dengan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B. Contohnya: 

untitled2
  • Diagram kartesius

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan ke dalam pasangan berurutan yang kemudian dituangkan dalam dot (titik-titk) dalam diagram cartesius. Contonya:

untitled3

Fungsi dan Grafik Fungsi

      Selain fungsi dikenal juga istilah pemetaan. Keduanya memiliki makna yang sama. Grafik fungsi adalah grafik yang menggambarkan bentuk suatu fungsi dalam diagram cartesius. Grafik ini diperoleh dengan menghubungkan noktah-noktah yang merupakan pasangan berurutan antara daerah asal (sumbu x) dan daerah hasil (sumbu y).

Himpunan A = {Jakarta, Kuala Lumpur,  Paris, Teheran, Tokyo}

Himpunan B = {Indonesia, Iran, Jepang, Malaysia,  Perancis}

Akan dibuat Relasi Ibukota dari himpunan A ke Himpunan B.  Perhatikan diagram panah berikut.

untitled5

Pada diagram, terlihat bahwa Relasi dari A ke B memiliki sifat-sifat sebagai berikut.

  1. Setiap anggota A mempunya Kawan di B
  2. Tidak ada anggota A yang mempunyai kawan lebih dari satu di B.

        Relasi yang memenuhi sifat-sifat diatas merupakan Relasi Khusus yang dinamakan         Fungsi.

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah Relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A tepat satu anggota B .

     a. Domain (Daerah Asal), Kodomain (Daerah Kawan), dan Range (Daerah Hasil).

Perhatikan Gambar berikut :

untitled6
  • A= { a, b, c, d } dinamakan daerah asal (Domain)
  • B = { p, q, r, s } dinamakan  daerah kawan (Kodomain)

     b. Banyaknya pemetaan dari Dua Himpunan

codecogseqn-2

  Jika banyaknya himpunan A adalah n(A) dan banyak himpunan B adalah n(B),                           maka banyak pemetaan dari A ke B adalah   

codecogseqn-3

           Banyaknya pemetaan dari B ke A adalah  

          Contohnya:

           Diketahui n(A)= 4 , n(B)= 4, maka banyak pemetaan dari A ke B adalah

            Penyelesaian:

codecogseqn-4
  • Menentukan nilai fungsi dengan cara mensubstitusikan nilai x pada rumus fungsi f(x).

Contoh:

codecogseqn-5

Tentukan rumus fungsi . Kemudian tentukan nilai fungsi untuk x= -4 dan x = 3.

Penyelesaian:

codecogseqn-5

Rumus fungsi    adalah

codecogseqn-8

a) Nilai fungsi untuk x= -4

codecogseqn-9

                     = 16-1                 

                    =  15

b) Nilai fungsi untuk x= 3

codecogseqn-10

                = 9-1

               = 8

  • Menghitung Nilai Dari Sebuah Fungsi

Menghitung nilai dari sebuah fungsi cukup sederhana.  Hanya perlu mengikuti rules dari fungsi tersebut. Semakin susah fungsi yang memetakannya maka akan semakin susah menghitung nilai fungsinya. Terkadang soal-soal membalik fungsi tersebut, diketahui daerah hasil kemudian diminta mencari daerah asal.

TUGAS MATEMATIKA KJ01

Macam-macam bilangan
1.Bilangan Asli
Himpunan Bilangan Asli: A=(1,2,3,4,5,6,…).

2.Bilangan Cacah
Himpunan Bilangan Cacah: C=(0,1,2,3,4,5,…)

3.Bilangan Prima
Bilangan Prima yaitu bilangan asli yang mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri
Contohnya:2,3,5,7,11,13,…, dan sebagainya.

4.Bilangan Bulat
Himpunan Bilangan Bulat: B={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

5.Bilangan Rasional
Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk pembagian a/b dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0
Contohnya:0=0/1=0/2=…, 0,5=5/10=1/2,1=1/1=2/2=…,2=2/1=4/2=…dan sebagainya

B.Operasi Hitung pada bilangan bulat
Sifat operasi hitung pada bilangan bulat adalah sebagai berikut:
1.sifat assosiatif untuk penjumlahan dan perkalian:
a. (a+b) + c = a + (b+c)
b. (ab)c = a(bc)

2.sifat komutatif untuk penjumlahan dan perkalian:
a. a + b = b + a
b. ab = ba

3.unsur identitas terhadap penjumlahan dan perkalian:
a. a – 0=0 + a = a
b. a1 = 1a = a

4.unsur invers terhadap penjumlahan dan perkalian:
a. a + (-a) = 0
b. untuk setiap a di R yang tak nol terhadap 1/a di R maka: a.1/a=1.

5.sifat distributif:
a(b + c) = ab + ac