Tugas Matematika ke Tiga Belas KJ-01

INTEGRAL CALCULUS

PENGERTIAN INTEGRAL CALCULUS

DAN

KEGUNAAN INTEGRAL

  1. Integral calculus atau integration vs. differentiation
  • Primitive function F(x) vs derivative function f(x)

Integral calculus atau integration adalah kebalikan dari differentiation, yaitu:

  • Apabila  fungsi  F(x) merupakan an integral (anti derivative) function dari fungsi f(x), maka :

F(x) disebut sebagai primitive function, sedangkan

f(x) merupakan derivative dari F(x) dan f(x) adalah fungsi kontinyu (a continuous function) di atas domainnya atau suatu interval independent variabel x.  

  • Jadi integration atau integral calculus menyangkut pencarian (tracing) asal (the parentage of) dari fungsi f(x).

Tetapi differentiation mencari turunan (derivative atau differentiation) dari F(x).

  • Differentiation dari F(x) menghasilkan fungsi yang unik (a unique derivative function) f(x).

Sebaliknya, integration dari f(x) menghasilkan banyak tak terbatas bentuk fungsi (indefinite number of possible parents)  F(x).

  • Penjelasan :
    • Notasi integration dari f(x) terhadap x dalam rangka menuju atau ditrasir ke F(x) :

 — indefinite integral

dan

 — definite integral di atas interval [a,b]

     dimana :

  • tandal integral (the integral sign)
  •  fungsi yang akan diintegralkan (the integrand — the function to be integrated).
  •  tanda untuk melakukan diferensiasi terhadap x (the operation of differentiation which is to be performed with respect to the variable x).
  •   sebagai notasi diferensiasi dari the primitive function , jadi:

                                   â

dimana  adalah suatu angka yang bersifat bebas atau angka apa saja (an arbitrary constant of integration) yang  berfungsi sebagai indikasi banyaknya fungsi primitif yang bisa dihasilkan (the multiple parentage of the integrand).    

INTEGRAL INDEFINITE (INDEFINITE INTEGRALS)

DAN

KETENTUAN-KETENTUAN INTEGRASI

(RULES OF INTEGRATION)

  1. Integral indefinite vs. Integral definite

The integral    

disebut the indefinite integral of  karena tidak mempunyai batasan angka tertentu (no definite numerical value).

      Sedangkan the integral 

disebut definite integral karena mempunyai definite numerical value misal dari angka sebesar a ke b

  • Aturan Integrasi (berlaku juga untuk Integral definite)

dan Contoh

  RULE 1 s.d, RULE 3: Aturan dasar (Basic Rules of Integration)  
  Rule 1 (the power rule)   karena  dimana n ≠ − 1  Soal           Rule 2 (the exponential rule)   Rule 2a:  karena  dan   Rule 2b:   karena                Rule 3 (the logarithmic rule)   Rule 3a : karena    dimana  x > 0                   Rule ini bentuk spesial (a special form) dari the power                 function  xn  karena untuk n = 1 tidak bisa dilakukan atas                 dasar Rule 1 (the power rule) sebab menjadi                                                       dan Rule 2 b: 
  RULE 4 dan RULE 5: Aturan operasi (Rules of Operation)   
Rule 4 (the integral of a sum)                                                  karena                    Soal     Rule 5 (the integral of a multiple)     Soal   

  RULE 6 dan RULE 7: Aturan Untuk Substitusi (Rules Involving Substitution)  
Rule 6 (the substitution rule)                    Contoh :       Rule 7 (integration by parts)                       karena:                             Soal                                                                                                   

  RULE 8 : Aturan Untuk Trigonometri  
  Rule 8 (trigonometric rules)    a. dx = – cos x + C                             c.  dx = tg x + C    b.dx = sin x + C                                 d. dx = – ctg x + C c. dx = sec x tan x + C    
  • Soal latihan
4).            

Tugas Matematika ke Empat Belas KJ-01 Integral

üIntegral  adalah kebalikan dari differensial üApabila  fungsi  F(x) merupakan an integral (anti derivative) function dari fungsi f(x), maka :

  F(x) disebut sebagai primitive function, sedangkan

  f(x) merupakan derivative dari F(x)üJadi integral mencari fungsi asal (tracing the parentage of) dari fungsi  f(x). üTetapi differentiation mencari turunan (derivative) dari F(x). üDifferentiation dari F(x) menghasilkan fungsi yang unik (a unique derivative function)  f(x). üSebaliknya, integration dari f(x) menghasilkan banyak tak terbatas bentuk fungsi (indefinite number of possible parents)  F(x).

1.∫ cos x dx = sin x + c 2.∫ sin x dx = -cos x + c 3.∫ tan x dx = – ln |cos x| + c 4.∫ sec2 x dx = tan x + c 5.∫ cosec2 x dx = -cot x + c 6.∫ tan x sec dx = sec x + c 7.∫ cot x cosec x dx = -cosec x + c

Tugas Matematika keDua Belas KJ-01 Matriks Invers & Cramer

Solusi SPL
Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :a.x = bdimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.
Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R =  VUntuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :                        a11x1 + a12x2 = b1                        a21x1 + a22x2 = b2Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :  a 1x  + a2 y = bPersamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.
Secara umum persamaan linear dalam n peubah  x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn    = bdengan   a1, a2, a3,……………..an     dan b merupakan konstanta bilangan riilcontoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :

  • a.       X + 3y  = 7
  • b.      X + 3 y2 = 7
  • c.       3x + 2y  – z + xz  = 4
  • d.      Y = ½ x  + 3z + 1
  • e.       Y – sin x = 0
  • f.         + 2×2 ++ x3 =1

Jawab:Persamaan a dan d termasuk persamaan linearPersamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2Persamaan c bukan persamaan linear  karema melibatkan perkalian peubahPersamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometriPersamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubahB. sistem Persamaan LinearSebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x1, x2, x3……..xndinamakan system persamaan linear atau system linearContoh :
4×1 – x2 + 3×3 =-13×1 + x2 + 9×3 = -4X1 2×2 -3×3 =3
 X – y =2X + 2y = 5
Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.
Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:

X -2y = 8
3x +y = 3

x1 +2×2 –x3 =3
2×1 –x2 +3×3 = -4
3×1 +x2 + x3 = 1
Jawab:a.       X -2y = 83x +y = 3Untuk memecahkan SPL  tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :
Aturan Cramer
kita punya persamaan x1 + 2×2 = 6 dan -3×1 +4×2 = 4. Biasanya kita menggunakan Metode Eliminasi atau Metode Substitusi. Tapi saya akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda yaitu dengan memanfaatkan determinan matriks, metode ini dinamakann Aturan Cramer. Metode ini untuk menyelesaikan persamaan seperti diatas atau lebih umum mencari solusi dari n persamaan dan n bilangan tak diketahui. Rumus yang akan digunakan pada Aturan Cramer ini dijamin pada teorema dibawah ini.Teorema :Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A)  0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalahx1 = 

\frac{det(A_1)}{det(A)}

x2 = 

\frac{det(A_2)}{det(A)}

, …, xn = 

\frac{det(A_n)}{det(A)}

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.B =

\left [ \begin{matrix}b_1\\ b_2\\ .\\ .\\ .\\ b_3 \end{matrix} \right ]

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.x1 + 2×3 = 6-3×1 + 4×2 + 6×3 = 30-x1 – 2×2 + 3×3 = 8ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriksA = 

\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 2\\ -3& 4& 6\\ -1& -2& 3\\ \end{array} \right ]

Karena bilangan takdiketahui atau solusinya ada 3, berarti kita bentuk matriks A1, A2 dan A3. Dengan matriks A1 dibentuk dari matriks A dengan mengganti entri-entri kolom pertama pada matriks A dengan nilai-nilai pada sebelah kanan sama dengan ( = ) di persamaan diatas yaitu 

\left [ \begin{array}{rrr} 6\\ 30\\ 8\\ \end{array} \right ]

. Kemudian untuk membentuk matriks A2, kita mengganti entri-entri kolom kedua matriks A dengan 

\left [ \begin{array}{rrr} 6\\ 30\\ 8\\ \end{array} \right ]

, begitu juga untuk membentuk matriks A3 yaitu mengganti entri-entri pada kolom ketiga. Sehingga diperoleh A1, A2 dan A3 seperti dibawah ini.A1 = 

\left [ \begin{array}{rrr} 6& 0& 2\\ 30& 4& 6\\ 8& -2& 3\\ \end{array} \right ]

, A2 = 

\left [ \begin{array}{rrr} 1& 6& 2\\ -3& 30& 6\\ 8& -2& 3\\ \end{array} \right ]

, A3 = 

\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 6\\ -3& 4& 30\\ -1& -2& 8\\ \end{array} \right ]

.Untuk menghitung determinan pada matriks A, A1, A2 dan A3 dapat menggunakan menghitung determinan menggunakan kofaktor.det(A) = 

\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 2\\ -3& 4& 6\\ -1& -2& 3\\ \end{array} \right ]

= a11C11 + a12C12 + a13C13= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13= a11M11 – a12M12 + a13M13= 1

\left | \begin{array}{rr} 4& 6\\ -2& 3 \end{array} \right |

 – 0

\left | \begin{array}{rr} -3& 6\\ -1& 3 \end{array} \right |

 + 2

\left | \begin{array}{rr} -3& 4\\ -1& -2 \end{array} \right |

= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]= 24 – 0 – 20= 44det(A1) = 

\left [ \begin{array}{rrr} 6& 0& 2\\ 30& 4& 6\\ 8& -2& 3\\ \end{array} \right ]

= a11C11 + a12C12 + a13C13= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13= a11M11 – a12M12 + a13M13= 6

\left | \begin{array}{rr} 4& 6\\ -2& 3 \end{array} \right |

 – 0

\left | \begin{array}{rr} 30& 6\\ 8& 3 \end{array} \right |

 + 2

\left | \begin{array}{rr} 30& 4\\ 8& -2 \end{array} \right |

= 6[4(3)-6(-2)] – 0[30(3)-6(8)] + 2[30(-2)-4(8)]= 144 – 0 – 184= -40det(A2) = 

\left [ \begin{array}{rrr} 1& 6& 2\\ -3& 30& 6\\ -1& 8& 3\\ \end{array} \right ]

= a11C11 + a12C12 + a13C13= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13= a11M11 – a12M12 + a13M13= 1

\left | \begin{array}{rr} 30& 6\\ 8& 3 \end{array} \right |

 – 6

\left | \begin{array}{rr} -3& 6\\ -1& 3 \end{array} \right |

 + 2

\left | \begin{array}{rr} -3& 30\\ -1& 8 \end{array} \right |

= 1[30(3)-6(8)] – 6[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(8)-30(-1)]= 42 + 18 + 12= 72det(A3) = 

\left [ \begin{array}{rrr} 1& 0& 6\\ -3& 4& 30\\ -1& -2& 8\\ \end{array} \right ]

= a11C11 + a12C12 + a13C13= a11(-1)1+1M11 + a12(-1)1+2M12 + a13(-1)1+3M13= a11M11 – a12M12 + a13M13= 1

\left | \begin{array}{rr} 4& 30\\ -2& 8 \end{array} \right |

 – 0

\left | \begin{array}{rr} -3& 30\\ -1& 8 \end{array} \right |

 + 6

\left | \begin{array}{rr} -3& 4\\ -1& -2 \end{array} \right |

= 1[4(8)-30(-2)] – 0[-3(8)-30(-1)] + 6[-3(-2)-4(-1)]= 92 – 0 + 60= 152Berdasarkan Teorema diatas, maka diperoleh :x1 = 

\frac{det(A_1)}{det(A)}

 = 

\frac{-40}{44}

 = 

\frac{-10}{11}

x2 = 

\frac{det(A_2)}{det(A)}

 = 

\frac{72}{44}

 = 

\frac{18}{11}

x3 = 

\frac{det(A_3)}{det(A)}

 = 

\frac{152}{44}

 = 

\frac{38}{11}

Metode Invers Matriks (MIM) Untuk SPLDVBentuk umum sistem persamaan linear dua variabel :

2

Dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu :

3

Sehingga untuk mencari solusi dari x dan y adalah :

4.gif

dengan 

14.gif

.
Jadi, solusi SPLDV adalah x dan y, serta Hp SPLDV = {(x,y)}.Contoh Soal :

  1. Nilai x yang memenuhi SPLDV
5.gif

adalah …Penyelesaian :Sistem persamaan tersebut dapat diubah dalam bentuk matriks menjadi :

6.gif

Sehingga,

1

Jadi Hp={(3,2)}. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah 3.2. Himpunann penyelesaian dari SPLDV :

15.gif

adalah (a,b). Nilai (a.b) sama dengan … (MPC 2010)Penyelesaian :
Persamaan matriks dari SPLDV tersebut adalah :

7.gif

Maka nilai a = -5 dan b = 0.
Jadi a . b = (-5)(0) = 0.3. Untuk sistem persamaan dua variabel

8

,
nilai 

9.gif

 = …Penyelesaian :

16.gif

Maka Himpunan penyelesaian = {(8,12)}. Sehingga nilai 

10.gif

.4. Himpunan penyelesaian dari SPLDV :

11.gif

adalah … (MPC 2012)Penyelesaian :Persamaan matriks dari SPLDV adalah :

12.gif

Eliminasi GaussEliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Metode Eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier. Cara ini ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss. Prosedur penyelesaian dari metode ini adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri-ciri Eliminasi Gauss

  • Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol ada 1(1 utama).
  • Baris nol terletak paling bawah.
  • 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya.
  • Dibawah 1 utama harus nol.

Contoh Penyelesaiannya dalam sebuah matriks ber ordo 3×3

rumus baris 2 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -2 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-2.b1+b2)

rumus baris 3 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -3 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-3.b1+b3)

rumus baris 3 kolom 3 menjadi 1 yaitu kalikan -1 dengan baris 3 (-1.b3)

Terlihat nilai determinan dari matriks 

13.gif

 adalah 0. Karena D=0, maka matriks 

13

 tidak mempunyai invers.Jadi, solusi dari SPLDV tersebut tidak ada. Hal ini berarti Hp = { } atau 

\varnothing

.Eliminasi Gauss JordanEliminasi Gauss Jordan adalah Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887. Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat menyelesaikan matriks. Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas. Eliminasi Gauss Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel variabelnya tanpa substitusi balik.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

  1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
  2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.

Kelebihan dan Keuntungan :
Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat menyelesaikan matriks invers.

Contoh Penyelesaiannya dalam sebuah matriks ber ordo 3×3

rumus baris 2 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -2 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-2.b1+b2)

rumus baris 3 kolom 1 menjadi 0 yaitu kalikan -3 dengan baris 1 kemudian ditambahkan baris 2 (-3.b1+b3)

rumus baris 3 kolom 3 menjadi 1 yaitu kalikan -1 dengan baris 3 kolom 3 (-1.b33)

rumus baris 2 kolom 3 menjadi 0 yaitu tambahkan -1 dengan baris 2 kolom 3 (-1+b23)

rumus baris 1 kolom 3 menjadi 0 yaitu  tambahkan -3 dengan baris 1 kolom 3 (-3+b13)

rumus baris 1 kolom 2 menjadi 0 yaitu tambahkan -2 dengan baris 1 kolom 2 (-2+b12)

Tugas Matematika KeSebelas KJ-01 Matriks Lanjutan

Determinan dan Matriks Singular

Pada pembahasan ini kita akan membahas beberapa hal. Berikut ini adalah beberapa kompetensi yang akan kita pelajari.

  1. Menentukan determinan matriks 2 × 2.
  2. Menjelaskan pengertian matriks singular.
  3. Menentukan determinan matriks 3 × 3 dengan metode ekspansi minor.
  4. Menentukan determinan matriks 3 × 3 dengan metode rotasi kolom.
  5. Menyelesaikan sistem dengan menggunakan persamaan matriks.
  6. Menyelesaikan penerapan sistem persamaan linear yang memuat matriks 4 × 4.

Untuk kepentingan praktis, penting untuk mengetahui apakah suatu matriks memiliki invers atau tidak. Untuk itu, kita akan mendiskusikan satu operasi tambahan pada matriks persegi, yang disebut determinan. Untuk matriks 1 × 1 determinannya adalah elemennya itu sendiri. Untuk matriks 2 × 2,

A

determinan dari A, ditulis sebagai det(A) atau dinotasikan dengan garis-garis vertikal |A|, dapat dihitung sebagai selisih dari perkalian diagonal-diagonalnya, dimulai dengan elemen-elemen pada diagonal kiri-atas:

Determinan 2 x 2
A2

Determinan Matriks 2 × 2
Diberikan sebarang matriks 2 × 2,

det(A) = |A| = a11a22 – a21a12.

Contoh 1: Menghitung Determinan

Hitunglah determinan dari masing-masing matriks yang diberikan.

Contoh 1

Pembahasan Matriks B adalah matriks persegi dengan ordo 2 × 2, sehingga

Contoh 1 det(B)

Sedangkan matriks C bukan matriks persegi, padahal determinan suatu matriks didefinisikan hanya untuk matriks persegi, sehingga C tidak memiliki determinan. Selanjutnya, determinan dari matriks persegi D adalah sebagai berikut.

Contoh 1 det(D)

Perhatikan bahwa determinan dari matriks D adalah nol dan matriks ini sama dengan matriks yang telah kita selidiki sebelumnya bahwa matriks tersebut tidak memiliki invers. Hal ini dapat kita gunakan untuk matriks yang lebih besar dan memberikan hubungan antara suatu matriks, inversnya, dan persamaan matriks.

Matriks Singular
Jika A adalah matriks persegi dan det(A) = 0, maka invers dari matriks tersebut tidak ada dan A dikatakan sebagai singular atau non-invertibel.

Secara singkat, invers hanya ada untuk matriks persegi, tetapi tidak semua matriks persegi memiliki invers. Jika determinan dari suatu matriks persegi sama dengan nol, maka invers dari matriks tersebut tidak ada dan metode persamaan matriks tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Tugas Matematika KeSepuluh KJ-01 Matriks Lanjutan

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}

Jika  maka determinan A adalah:

|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}

Jika  maka determinan A adalah:

determinan matriks

= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi

Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:

1. Determinan A = Determinan AT

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar

sifat sifat determinan matriks

3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ (2.1) & (2.3) & (2.4) \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{vmatrix}

4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3[(1.2) - (2.1)] = 0

5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} = (1.6.2) = 12

Invers Matriks

A = \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti  dapat dirumuskan sebagai:

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:

  • AA-1 = A-1A = I
  • (A-1)-1 = A
  • (AB)-1 = B-1A-1
  • Jika AX = B, maka X = A-1B
  • Jika XA = B, maka X = BA-1

Contoh Soal Matriks dan Pembahasan

Contoh Soal 1

\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}

Suatu perkalian matriks  menghasilkan matriks nol. Tentukan nilai x yang memenuhui persamaan tersebut!

Pembahasan:

\begin{pmatrix} 1 & x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0
\begin{pmatrix}6 - 3x & -2 + x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} = 0
6 - 3x + (-2 + x)x = 0
x^2 - 2x - 3x + 6 = 0
x^2 - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3)

Maka nilai x yang memenuhi adalah x= 2 dan x2 = 3.

Contoh Soal 2

\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix}

Jika matriks  dan  saling invers, tentukan nilai x!

Pembahasan:

Diketahui bahwa kedua matriks tersebut saling invers, maka berlaku syarat AA-1 = A-1A = I.

Sehingga:

\begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 & x-12 \\ -x & x+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 9(x-1) - 7x & 9(x-12) + 7(x+4) \\ 5(x-1) - 4x & 5(x-12) + 4(x+4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Sehingga pada elemen baris ke-1 kolom ke-1 memiliki persamaan:

9(x – 1) – 7x = 1

9x – 9 – 7x = 1

2x = 10

x = 5

Tugas Matematika KeSembilan KJ-01 Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:

Jika 

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

 dan 

B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}

,

maka:

A + B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1+3 & 4+6 \\ 2+4 & 5+7 \\ 3+5 & 6+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 6 & 12 \\ 8 & 14 \end{pmatrix}

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.

Contoh:

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}

Jika  dan ,

maka:

B - A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 3-1 & 6-4 \\ 4-2 & 7-5 \\ 5-3 & 8-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:

  • A + B = B + A
  • (A + B) + C = A + (B + C)
  • A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

r.A = (r.a_{ij})

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka . Contoh:

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

Jika  dan bilangan r = 2, maka:

r.A = 2 . \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.1 & 2.4 \\ 2.2 & 2.5 \\ 2.3 & 2.6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 4 & 10 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}

Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:

  • r(A + B) = rA + rB
  • r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

perkalian matriks
C_{(m \times s)}

Elemen-elemen matriks  merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:

perkalian elemen matriks

Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a22 diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

maka:

A \cdot B = C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} a_{14}b_{41}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} a_{14}b_{42}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} a_{24}b_{41}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} a_{24}b_{42}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} + a_{33}b_{31} a_{34}b_{41}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} a_{34}b_{42}) \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix}(2.1 + 1.3 + 4.2 + 3.1) & (2.3 + 1.2 + 4.5 + 3.4) \\ (2.1 + 5.3 + 1.2 + 2.1) & (2.3 + 5.2 + 1.5 + 2.4) \\ (1.1 + 3.3 + 2.2 + 2.1) & (1.3 + 3.2 + 2.5 + 2.4) \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} 16 & 40 \\ 21 & 29 \\ 16 & 27 \end{pmatrix}

Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:

A x B ≠ B x A

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

Sebagai pembuktian, diketahui  dan  maka:

AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 13 \\ 7 & 14 \end{pmatrix}
BA = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 9 \\ 11 & 10 \end{pmatrix}

Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:

  • k(AB) = (kA)B
  • ABC = (AB)C = A(BC)
  • A(B + C) = AB + AC
  • (A + B)C = AC + BC

Tugas Matematika keDelapan KJ-01 Aplikasi Turunan

 Aplikasi turunan merupakan suatu konsep matematika pengukuran atas bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan nilai input. Atau secara umum turunan menunjukkan tentang bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lain. Proses dalam menemukan turunan disebut dengan diferensiasi.
Bentuk turunan tersebut diantaranya yaitu turunan pertama, turunan kedua dan turunan fungsi trigonometri.

Turunan pertama

Semisal y adalah fungsi dari x atau dapat ditulis juga bahwa y = f (x). Sehingga turunan dari y terhadap x dinotasikan dengan konsep rumus berikut ini :

Dengan memanfaatkan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus turunan yang meliputi :
Jika diketahui y = Cxn dimana C dan juga n merupakan suatu bentuk konstanta real, maka dy : dx = Cnxn – 1
Jika diketahui y = C dan C merupakan elemen R maka dy : dx = 0
Untuk y = f (x) + g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x + g aksen sehingga x atau dalam rumus = f’(x) + g’ (x)
Untuk y = f (x) . g (x) sehingga maka dy / dx = f aksen sehingga x . g sehingga x + g aksen sehingga x . f sehingga x atau dalam rumus f’ (x) . g (x) + g’ (x) . f (x)

Turunan kedua

Turunan kedua dari y = f (x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut ini :

Turunan kedua dari aplikasi turunan merupakan bentuk turunan yang didapatkan dengan menurunkan kembali turunan yang pertama. Anda dapat memperhatikan contoh di bawah ini :

Turunan kedua ini juga bisa digunakan antaranya untuk keperluan :
Penentuan gradient garis singgung suatu kurva
Penentuan apakah suatu interval akan naik atau turun
Penentuan nilai maksimum dan nilai minimum suatu kurva

Turunan fungsi trigonometri

Mengenai bagaimana rumus untuk menentukan turunan fungsi trigonometri, Anda bisa simak rumus di bawah ini :


Tugas Ketujuh Matematika KJ-01

FUNGSI LANJUTAN
Fungsi Eksplisit
Penulisan > y=f(x) Variabel x dan y terpisah dengan jelas di dua sisi (ruas)
contoh : y=5×2 + 4x + 6

Fungsi Implisit
Penulisan > F(x,y) = 0
adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel (variabel bebas & tak bebas) yang berada dalam satu ruas
contoh : –x2 + 2xy – 3 = 0 (1 variabel bebas)
-2x2yz + 6yz -8x -9 = 0 (2 variabel bebas)

Turunan Fungsi Implisit
Menurunkan fungsi implisit, tak jauh beda dengan menurunkan fungsi variabel tunggal, yakni dengan menggunakan notasi Leibniz (dy/dx)
untuk 2 atau lebih variabel bebas menggunakan notasi dz/dx dan dz/dy
contoh : x2 + Y2 – 5x +8y + 2xy2 = 19

Tugas Keenam Matematika KJ-01

Pengertian Limit Fungsi Trigonometri

Dengan memahami pengertian limit, tentu ini bisa membantu dalam menyelesaikan soal limit. Baik dalam menentukan nilai limit fungsi trigonometri ataupun menentukan nilai limit fungsi yang lainnya. Ada banyak sekali variasi soal tentang limit fungsi trigonometri. Keterampilan dalam menentukan nilai limit fungsi trigonometri bisa terasah dengan cara banyak mengerjakan latihan soal. Walaupun soal yang diberikan bervariasi, tapi bila anda sudah menangkap konsepnya, untuk jenis soal apa pun bisa dengan mudah diselesaikan.

Limit fungsi trigonometri x mendekati suatu bilangan

Untuk menentukan nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati suatu bilangan c bisa dengan mudah didapat. Dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometri.

Rumus Integral Substitusi dan Integral Parsial

Setelah mengetahui tentang integral parsial, pengertian untuk rumus integral substitusi dipakai saat bagian sebuah fungsi yang merupakan turunan dari fungsi lainnya. Umumnya soal integral bisa diselesaikan dengan cara substitusi terdiri atas dua faktor. Yaitu turunan dari salah satu faktornya mempunyai hubungan dengan faktor lain.

Setelah mengetahui deskripsi singkat mengenai rumus integral parsial dan rumus integral substitusi, maka sekarang saatnya kita akan membahas penerapan secara langsung dalam menyelesaikan soal.

Rumus Integral Parsial

Cara seperti ini dapat dibilang sebagai cara pamungkas yang bisa dipakai dalam menyelesaikan soal integral. Contoh dari soal integral yang bisa diselesaikan menggunakan rumus integral parsial adalah seperti dibawah ini :

Rumus Integral Substitusi

Ciri-ciri dari soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus integral substitusi adalah memiliki faktor yang merupakan turunan dari faktor lain. Coba anda perhatikan contoh soal integral yang bisa diselesaikan dengan rumus integral substitusi ini.

Soal tersebut tidak bisa diselesaikan dengan rumus integral umum seperti biasa. Anda perlu teknik yang tepat dalam mendapatkan nilai integral nya. Metode yang paling tepat dalam menyelesaikan soal integral tersebut menggunakan rumus integral substitusi. Sebelum kita melanjutkan pembahasan soalnya, terlebih dahulu kita lihat persamaan integral substitusi di bawah ini.